3.2 Diferenciación de función por incrementos

9. Diferenciaci´on de funciones reales de varias variables reales

9.1. Diferenciaci´on 9.1.2. LA DIFERENCIAL

Incrementos y diferenciales

Dada una funci´on z = f(x, y), se llama incremento de la funci´on, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)

y se llama diferencial total a:

dz =

∂z

∂x dx +

∂z

∂y dy = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy

Diferencial de una funci´on en un punto

Una funci´on z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como:

∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y donde ε1, ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0)

para lo que se debe cumplir que:

lim

(x,y)→(a,b)

|f(x, y) − f(a, b) − fx(a, b)(x − a) − fy(a, b)(y − b)|

p

(x − a)

2 + (y − b)

2

= 0

Condici´on suficiente de diferenciabilidad

Si una funci´on y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el

abierto.

Condiciones necesarias de diferenciabilidad

Si una funci´on es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el

punto.

Uso de la diferencial como aproximaci´on

Despreciando los t´erminos que tienden a cero, si una funci´on es diferenciable en (a, b) entonces se verifica la

siguiente f´ormula para la estimaci´on de errores:

∆z ' fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y cuando ∆x, ∆y ' 0

Sustituyendo los incrementos por su expresi´on, se obtiene la siguiente f´ormula de aproximaci´on:

f(x, y) ' f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) cuando (x, y) ' (a, b)

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/calculo/guia/calculo_9_1_2.pdf