La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por
| f'(a) | = | lim h  0 |  h |
Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.
Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.
Nota
| Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si | lim h 0 | h | no existe, o es infinito. |
En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.
La función f es continua en el punto a de su dominio si:
| 1. | lim x→a | f(x) existe; |
| 2. | lim x→a | f(x) = f(a) |
Nota
Si el punto a no está en el dominio de f, no tiene sentido decir si o no f es continua en a.
Si el punto a no está en el dominio de f, no tiene sentido decir si o no f es continua en a.
Continua en un subconjunto del dominio
La función f es continua en el subconjunto S de su dominio si es continua en cada punto de S.
La función f es continua en el subconjunto S de su dominio si es continua en cada punto de S.
Ejemplos
1. Todas las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios (enteros). Una función de forma cerrada es cualquier función que se puede obtener por la combinación de constantes, potencias de x, funciones exponenciales, radicales, logarítmicas, y funciones trigonométricas (y algunas otras funciones que no encontraremos aquí) en una sola formula matemática por medio de las operaciones aritméticas habituales y composición de funciones. Ejemplos de funciones de forma cerrada son:
1. Todas las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios (enteros). Una función de forma cerrada es cualquier función que se puede obtener por la combinación de constantes, potencias de x, funciones exponenciales, radicales, logarítmicas, y funciones trigonométricas (y algunas otras funciones que no encontraremos aquí) en una sola formula matemática por medio de las operaciones aritméticas habituales y composición de funciones. Ejemplos de funciones de forma cerrada son:
| 3x2 - x + 1, | x + 3 | , y | ex2-1. |
2. La función f(x) = 1/x, también de forma cerrada, es continua en cada punto de su dominio. (Nota que 0 no es un punto del dominio de f, por tanto no hablamos de lo que podría significar ser continua o discontinua ahí).
3. La función
| f(x) = |  | -1 x2+x | if x ≤ 2 if x > 2 |
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